利用旋转底座的增材制造技术的自支撑结构拓扑优化

作者：叶俊a, 郭启琛a, 陆泓家b,*, Pinelopi Kyvelouc, 赵阳a, Leroy Gardnerc, 谢亿民b
单位：a浙江大学建筑工程学院、b皇家墨尔本理工大学创新结构与材料研究中心、c帝国理工学院土木与环境工程系结构工程所

在当今的结构设计领域，拓扑优化技术得到了越来越广泛的应用。因为拓扑优化后的结构往往具有复杂的构形，所以增材制造（3D打印）技术被频繁地用来解决优化结构的生产问题。然而，在打印对象是任意形状的结构时，增材制造的成品质量会受到一些实际因素的影响。其中一个重要的因素是悬垂效应，即当结构边界悬垂角度大于最大容许值（即最大悬垂角度）时，由于重力的作用，结构在打印过程中会出现塌落、翘曲等现象（如图一所示）。

图一. 悬垂效应对打印质量的影响。

为克服悬垂效应对打印结果的影响，往往需要在结构悬垂部位添加支撑；或通过在拓扑优化方法中添加悬垂约束来设计无悬垂部位的自支撑结构。尽管自支撑结构设计已经被广泛研究，以往的方法主要面向传统的3轴3D打印技术（如图二(a)所示）。由于其固定不变的打印方向，结构优化过程中考虑的悬垂约束往往会导致结构性能的大幅损失。近年来，带有旋转底座的多轴打印技术已经面世（图二(b)所示），其配备的倾斜轴能够改变打印构件和重力方向之间的角度，因此相较于3轴打印具有对抗悬垂效应的额外能力。基于这一点，本研究创新性地提出基于多轴3D打印技术的自支撑结构设计方法，旨在利用多轴底座的旋转能力来减少悬垂约束对优化后自支撑结构的性能影响。

图二. (a) 3轴3D打印机；(b) 带可旋转底座的多轴3D打印机

在以往基于3轴打印的自支撑结构设计中，因为其固定的打印方向，所以设计对象只有结构本身。而在多轴打印的问题中，局部打印方向也必须被考虑为设计对象。因此本研究将设计域分为不同的打印子区域(图三(a) )，并假定各子区域内具有固定不变的局部打印方向(图三(b))。根据不同区域中的打印方向，打印切面(图三(c))和打印过程中底座的倾斜角度(图三(d-g))都可以被求得。因为本文着重处理二维拓扑优化问题，所以在设计打印方向时只考虑旋转底座的倾斜轴（图二(b)）。在三维的拓扑优化问题中，转动轴也需要被考虑到打印方向的设计中来提供额外的自由度。

图三. (a) 打印结构和设计域分区；（b）各分区内的局部打印方向；（c）与局部打印方向垂直的打印切面；（d-g）打印过程中对应打印切面的不同底座倾斜角度

基于分区的基本假设，本文提出了两步走的优化方法，第一步从未考虑悬垂约束的普通拓扑优化结构出发，根据其结构几何特征来设计局部打印方向。因为在第一步中结构固定不变，求得的局部打印方向并不能保证完全可打印/自支撑。因此，在可打印比例不满足条件时，在第二步中结构会根据求得的局部打印方向被再优化，以降低不可打印比例。以图四(a)所示的悬臂梁结构为例，当材料体积占比为0.4时，经拓扑优化后的结构构型如图四(b)所示，此时结构的总应变能C = 326.1 N⋅mm。在3轴打印的情况下，当最大悬垂角度为45°时，结构的不可打印比例为23.63%。在第一步中，将设计域按图五(b)所示方式分区，并优化局部打印方向后（如图五(c)所示），结构的不可打印比例降低为9.29%，仍有大量不可打印部分存在，因而需进行第二步再优化。经再优化后(图五(d))，结构不可打印比例降低为0.0%，结构可被完全打印。

图四.悬臂梁结构优化问题；(a)优化问题示意图；(b)无约束优化结果

图五.基于多轴3D打印的悬臂梁优化过程；(a)无约束优化结果；(b)分区示意图；(c)打印路径优化结果；(d)再优化结果

悬臂梁的再优化迭代曲线过程如图六所示，在此过程中，当迭代至第100步时便已出现近似最优解，后续迭代步确保了最终结果的非黑即白。整个过程中结构边界不可打印比例runp始终低于0.1%。最终多轴自支撑的优化结果的应变能为C= 332.26 N⋅mm，相比于无约束状态下的最佳结构增幅仅为1.9%，近乎可被忽略。

图六.悬臂梁再优化过程收敛曲线

与3轴打印不同的是，在多轴打印中因为局部打印方向的变化打印喷头和被打印结构可能发生碰撞。其具体表示为当打印切面的凹陷程度增加时，打印的碰撞风险也增加（图七）。针对这一问题，本研究通过施加打印切面的最大偏转角约束来降低碰撞风险。

图七.多轴打印过程中的碰撞问题；(a) 略微凹陷的打印切面 （𝜙t较小）具有较低的碰撞风险；(b) 严重凹陷的打印切面 （𝜙t较大）具有较高的碰撞风险

针对不同的多轴打印设备，不同的最大偏转角数值可以被使用。以图八展示的设计问题为例，图八(c)展示了在最大悬垂角度为45°时，二维桥（L=200, H=200, F=1，材料体积占比0.1）在不同最大偏转角((1) 30°，(2) 45°，(3) 60°)的作用下，面向多轴3D打印的优化结果。其相比于在无约束状态下的结构优化结果（C = 43.43 N⋅mm），性能损失仅为(1) 6.0%；(2) 4.2%；(3) 3.7%。

图八.基于多轴3D打印的二维桥优化；(a) 优化问题示意图；(b) 分区示意图；(c) 当最大偏转角度为 (1) 30°，(2) 45°，(3) 60° 时的优化结果

综上所述，通过利用多轴打印机底座的旋转特性，本研究所提出的算法有效地降低了考虑悬垂效应对结构性能带来的损失，同时克服了多轴3D打印过程中潜在的碰撞问题。

论文发表
本研究课题由浙江大学硕士生郭启琛完成主要工作，经叶俊研究员， 陆泓家博士的悉心指导，并获得Pinelopi Kyvelou研究员，赵阳教授，Leroy Gardner院士和谢亿民院士的宝贵建议和帮助。该研究成果已发表在工程制造顶尖期刊《Virtual and Physical Prototyping》 (JCR: Q1, 影响因子: 10.96)。

论文原文
Jun Ye, Qichen Guo, Hongjia Lu*, Pinelopi Kyvelou, Yang Zhao, Leroy Gardner & Yi Min Xie (2023) Topology optimisation of self-supporting structures based on the multi-directional additive manufacturing technique, Virtual and Physical Prototyping, 18:1, DOI: 10.1080/17452759.2023.2271458